试题

如图，在平面直角坐标系xOy内，正方形AOBC的顶点C的坐标为（1，1），过点B的直线MN与OC平行，AC的延长线交MN于点D，点P是直线MN上的一个动点，CQ∥OP交MN于点Q．
（1）求直线MN的函数解析式；
（2）当点P在x轴的上方时，求证：△OBP≌△CDQ；猜想：若点P运动到x轴的下方时，△OBP与△CDQ是否依然全等？（不要求写出证明过程）
（3）当四边形OPQC为菱形时，①求出点P的坐标；②直接写出∠POC的度数．

解：（1）∵四边形AOBC是正方形，
∴AO=BO=BC=AC，AO∥BC，AC∥OB，∠OBC=90°．
∵C的坐标为（1，1），
∴B（1，0），
设OC的解析式为y=kx，由题意，得
1=k，
∴OC的解析式为：y=x．
∵MN∥OC，
∴直线MN的解析式与OC的解析式的k值相等．
设MN的解析式为y=x+b，由题意，得
0=1+b，
∴b=-1，
∴直线MN的解析式为y=x-1；

（2）∵OC∥MN，OP∥CQ，
∴四边形OPQC是平行四边形，∠OPB=∠CQD，∠OBP=∠CDQ，
∴OP=CQ．
在△OBP和△CDQ中，

∠OPB=∠CQD ∠OBP=∠CDQ OP=CQ

，
∴△OBP≌△CDQ（AAS）．
如图，点P运动到x轴的下方时，△OBP≌△CDQ，方法同上．

（3）如图3、图4，作OH⊥MN，PG⊥OB于G，
∴OH=

1

2

BE=

2

2

．BG=PG．
∵OB=BC=1，
∴OC=

2

．
∵四边形OPQC是菱形，
∴OP=OC=

2

，
∴OP=2OH，
∴∠OPH=30°．
∵OC∥MN，
∴∠POC=∠OPH=30°．
设PG=BG=x，则OG=1+x，在Rt△OPG中，由勾股定理，得
2=（1+x）²+x²，
解得：x₁=

-1+ 3

2

，x₂=

-1- 3

2

，
∴OG=

1+ 3

2

或

1- 3

2

∴P（

1+ 3

2

，

3 -1

2

）或（

1- 3

2

，-

1+ 3

2

），∠POC=30°或150°．

解：（1）∵四边形AOBC是正方形，
∴AO=BO=BC=AC，AO∥BC，AC∥OB，∠OBC=90°．
∵C的坐标为（1，1），
∴B（1，0），
设OC的解析式为y=kx，由题意，得
1=k，
∴OC的解析式为：y=x．
∵MN∥OC，
∴直线MN的解析式与OC的解析式的k值相等．
设MN的解析式为y=x+b，由题意，得
0=1+b，
∴b=-1，
∴直线MN的解析式为y=x-1；

（2）∵OC∥MN，OP∥CQ，
∴四边形OPQC是平行四边形，∠OPB=∠CQD，∠OBP=∠CDQ，
∴OP=CQ．
在△OBP和△CDQ中，

∠OPB=∠CQD ∠OBP=∠CDQ OP=CQ

，
∴△OBP≌△CDQ（AAS）．
如图，点P运动到x轴的下方时，△OBP≌△CDQ，方法同上．

（3）如图3、图4，作OH⊥MN，PG⊥OB于G，
∴OH=

1

2

BE=

2

2

．BG=PG．
∵OB=BC=1，
∴OC=

2

．
∵四边形OPQC是菱形，
∴OP=OC=

2

，
∴OP=2OH，
∴∠OPH=30°．
∵OC∥MN，
∴∠POC=∠OPH=30°．
设PG=BG=x，则OG=1+x，在Rt△OPG中，由勾股定理，得
2=（1+x）²+x²，
解得：x₁=

-1+ 3

2

，x₂=

-1- 3

2

，
∴OG=

1+ 3

2

或

1- 3

2

∴P（

1+ 3

2

，

3 -1

2

）或（

1- 3

2

，-

1+ 3

2

），∠POC=30°或150°．