如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y=-frac{1}{2}x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，过点0作OD⊥AB，垂足为D．（1）求直线OD的解析式；（2）点P从点...-青果题库-青果学院

题目：

（2012·南岗区一模）如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y=-

1

2

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，过点0作OD⊥AB，垂足为D．
青果学院

（1）求直线OD的解析式；
（2）点P从点A出发，沿射线AB以每秒

5

个单位长度的速度匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点Q．设线段0Q的长为d（d＞0），点P的运动时间为t（秒），求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OP，是否存在t的值，使OP²=BP·AP？若存在，求出t的值，同时通过计算推理判断，此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP的位置关系；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）过点D作DC⊥OA于C，
∵直线y=-

1

2

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（10，0），B（0，5），
即OA=10，OB=5，
∴AB=

OA2+OB2

=5

5

，
∴sin∠OAB=

OB

AB

=

5

，cos∠OAB=

OA

AB

=

2

5

，
∵OD⊥AB，
∴OD=

OA·OB

AB

=2

5

，
∵∠AOD+∠ODC=90°，∠AOD+∠OAB=90°，
∴∠ODC=∠OAB，
∴OC=OD·sin∠ODC=2

5

×

5

=2，CD=OD·cos∠ODC=2

5

×

2

5

=4，
∴点D的坐标为：（2，4），
设直线OD的解析式为：y=kx（k≠0），
则2k=4，
解得：k=2，
∴直线OD的解析式为：y=2x；

青果学院

（2）∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△APQ∽△ABO，
∴AQ：AO=AP：AB，
∵AB=5

5

，OA=10，OB=5，AP=

5

t，
∴AQ：10=

5

t：5

5

，
∴AQ=2t，
当0＜t≤5时，d=OQ=OA-AQ=10-2t，
当t＞5时，d=OQ=AQ-OA=2t-10；
∴d与t的函数关系式为：d=

10-2t (0＜t≤5)

2t-10 (t＞5)

；

（3）存在，理由如下：
∵PQ：OB=AP：AB，
∴PQ：5=

5

t：5

5

，
解得：PQ=t，
∴OP²=OQ²+PQ²，
∵OP²=BP·AP，
当0＜t≤5时，BP=AB-AP=5

5

-

5

t，OP²=（10-2t）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（5

5

-

5

t）·

5

t，
即2t²-13t+20=0，
解得：t=

5

2

或t=4；
当t＞5时，BP=AP-AB=

5

t-5

5

，OP²=（2t-10）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（

5

t-5

5

）·

5

t，
即15t=100，
解得：t=

20

3

；
综上，t的值为：

5

2

或4或

20

3

；
∵AD=OA·cos∠OAB=10×

2

5

=4

5

，OD=OA·sin∠OAB=10×

5

=2

5

，

①如图4，当t=

5

2

时，过点D作DM⊥OP于M，
∵t=

5

2

，
∴AP=

5

2

，
∴DP=AD-AP=4

5

-

3

5

2

=

3

5

2

，
∵OP²=5t²-40t+100=

125

4

，
∴OP=

5

2

5

，
∴DM=

OD·DP

OP

=

2

5

×

3

2

5

2

5

=

6

5

，
∴此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP相切；
②如图5，当t=4时，AP=4

5

=AD，
即点P与点D重合，
∴此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP相交；
③如图6，当t=

20

3

时，过点D作DN⊥OP于N，
∵t=

20

3

，
∴AP=

20

5

3

，
∵OP²=5t²-40t+100=

500

9

，
∴OP=

10

3

5

，
∴DP=AP-AD=

20

5

3

-4

5

=

8

5

3

，
∴DM=

OD·DP

OP

=

2

5

×

8

3

5

10

3

5

=

8

5

＞

6

5

，
∴此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP相离．
青果学院

解：（1）过点D作DC⊥OA于C，
∵直线y=-

1

2

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（10，0），B（0，5），
即OA=10，OB=5，
∴AB=

OA2+OB2

=5

5

，
∴sin∠OAB=

OB

AB

=

5

，cos∠OAB=

OA

AB

=

2

5

，
∵OD⊥AB，
∴OD=

OA·OB

AB

=2

5

，
∵∠AOD+∠ODC=90°，∠AOD+∠OAB=90°，
∴∠ODC=∠OAB，
∴OC=OD·sin∠ODC=2

5

×

5

=2，CD=OD·cos∠ODC=2

5

×

2

5

=4，
∴点D的坐标为：（2，4），
设直线OD的解析式为：y=kx（k≠0），
则2k=4，
解得：k=2，
∴直线OD的解析式为：y=2x；

青果学院

（2）∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△APQ∽△ABO，
∴AQ：AO=AP：AB，
∵AB=5

5

，OA=10，OB=5，AP=

5

t，
∴AQ：10=

5

t：5

5

，
∴AQ=2t，
当0＜t≤5时，d=OQ=OA-AQ=10-2t，
当t＞5时，d=OQ=AQ-OA=2t-10；
∴d与t的函数关系式为：d=

10-2t (0＜t≤5)

2t-10 (t＞5)

；

（3）存在，理由如下：
∵PQ：OB=AP：AB，
∴PQ：5=

5

t：5

5

，
解得：PQ=t，
∴OP²=OQ²+PQ²，
∵OP²=BP·AP，
当0＜t≤5时，BP=AB-AP=5

5

-

5

t，OP²=（10-2t）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（5

5

-

5

t）·

5

t，
即2t²-13t+20=0，
解得：t=

5

2

或t=4；
当t＞5时，BP=AP-AB=

5

t-5

5

，OP²=（2t-10）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（

5

t-5

5

）·

5

t，
即15t=100，
解得：t=

20

3

；
综上，t的值为：

5

2

或4或

20

3

；
∵AD=OA·cos∠OAB=10×

2

5

=4

5

，OD=OA·sin∠OAB=10×

5

=2

5

，

①如图4，当t=

5

2

时，过点D作DM⊥OP于M，
∵t=

5

2

，
∴AP=

5

2

，
∴DP=AD-AP=4

5

-

3

5

2

=

3

5

2

，
∵OP²=5t²-40t+100=

125

4

，
∴OP=

5

2

5

，
∴DM=

OD·DP

OP

=

2

5

×

3

2

5

2

5

=

6

5

，
∴此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP相切；
②如图5，当t=4时，AP=4

5

=AD，
即点P与点D重合，
∴此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP相交；
③如图6，当t=

20

3

时，过点D作DN⊥OP于N，
∵t=

20

3

，
∴AP=

20

5

3

，
∵OP²=5t²-40t+100=

500

9

，
∴OP=

10

3

5

，
∴DP=AP-AD=

20

5

3

-4

5

=

8

5

3

，
∴DM=

OD·DP

OP

=

2

5

×

8

3

5

10

3

5

=

8

5

＞

6

5

，
∴此时以

6

5

为半径的⊙D与直线OP相离．

考点梳理

一次函数综合题．

试题