试题

（2013·保定一模）如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直线l与折线DC-CB交于N，与折线DA-AB交于M，与y轴交于点Q．设△BMN的面积为S．

（1）用含t的代数式表示b；
（2）确定S与t之间的函数关系式；
（3）t为何值时，S最大；
（4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；
（5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．

解：（1）∵y=x+b过点P，且P（t，0），
∴0=t+b，
∴b=-t；

（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
∴D（1，3）
∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b，
∴OP=|-b|，OQ=|b|，
∴OP=OQ，
∴∠NPB=∠OPQ=45°．
过点C作CK⊥AB于K，
∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
∴Rt△CKB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°．
①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
∴BQ=7-t，
∴S=S_△NBP-S_△PMB=

1

2

（7-t）×3-

1

2

（1-t）（7-t），
=

1

2

（7-t）（2+t），
=-

1

2

t²+

5

2

t+7
②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1，
∵∠NPB=∠CBO=45°，
∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，
∴NE=

1

2

PB=

1

2

（7-t），
∴S=

1

2

×（7-t）×

1

2

（7-t），
=

1

4

（7-t）²；

（3）①当0≤t≤1时，
S=-

1

2

t²+

5

2

t+7，
=-

1

2

（t-

5

2

）²+

81

8

，
∵a=-

1

2

＜0，
∴抛物线的开口向下．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．
∵对称轴为直线t=

5

2

，
∴t=1时，S_最大=9；
②当1≤t≤7时，
S=

1

4

（t-7）²；
∵a=

1

4

＞0，
∴抛物线的开口向上．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．
∵对称轴为直线t=7，
∴t=1时，S_最大=9，
综上所述，t=1时，S_最大=9；

（4）由题意，得
S_梯形ABCD=

1

2

（3+6）×3=

27

2

．
①当0≤t≤1时
S=-

1

2

（t-

5

2

）²+

81

8

=

27

4

，
解得：t=

5±3 3

2

不符合0≤t≤1（舍去），
②当1≤t≤7时，
S=

1

4

（t-7）²=

27

4

，
解得：t=7±3

3

∵1≤t≤7，
∴t=7-3

3

．

（5）当△POQ∽△PCB时，
∴

PO

PC

=

OQ

CB

，
如图1，在△CBK中，由勾股定理，得
BC=3

2

，
∵OP=t，PQ=

2

t，BP=7-t，
∴

2 t

7-t

=

t

3 2

，
解得：t₁=0（舍去），t₂=1；
当△POQ∽△CPB时，
∴∠POQ=∠BPC=90°，
∴CP⊥AB，
∴PC=3，
∴AP=3，
∴OP=4，
∴t=4．
∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
解：（1）∵y=x+b过点P，且P（t，0），
∴0=t+b，
∴b=-t；

（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
∴D（1，3）
∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b，
∴OP=|-b|，OQ=|b|，
∴OP=OQ，
∴∠NPB=∠OPQ=45°．
过点C作CK⊥AB于K，
∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
∴Rt△CKB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°．
①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
∴BQ=7-t，
∴S=S_△NBP-S_△PMB=

1

2

（7-t）×3-

1

2

（1-t）（7-t），
=

1

2

（7-t）（2+t），
=-

1

2

t²+

5

2

t+7
②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1，
∵∠NPB=∠CBO=45°，
∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，
∴NE=

1

2

PB=

1

2

（7-t），
∴S=

1

2

×（7-t）×

1

2

（7-t），
=

1

4

（7-t）²；

（3）①当0≤t≤1时，
S=-

1

2

t²+

5

2

t+7，
=-

1

2

（t-

5

2

）²+

81

8

，
∵a=-

1

2

＜0，
∴抛物线的开口向下．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．
∵对称轴为直线t=

5

2

，
∴t=1时，S_最大=9；
②当1≤t≤7时，
S=

1

4

（t-7）²；
∵a=

1

4

＞0，
∴抛物线的开口向上．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．
∵对称轴为直线t=7，
∴t=1时，S_最大=9，
综上所述，t=1时，S_最大=9；

（4）由题意，得
S_梯形ABCD=

1

2

（3+6）×3=

27

2

．
①当0≤t≤1时
S=-

1

2

（t-

5

2

）²+

81

8

=

27

4

，
解得：t=

5±3 3

2

不符合0≤t≤1（舍去），
②当1≤t≤7时，
S=

1

4

（t-7）²=

27

4

，
解得：t=7±3

3

∵1≤t≤7，
∴t=7-3

3

．

（5）当△POQ∽△PCB时，
∴

PO

PC

=

OQ

CB

，
如图1，在△CBK中，由勾股定理，得
BC=3

2

，
∵OP=t，PQ=

2

t，BP=7-t，
∴

2 t

7-t

=

t

3 2

，
解得：t₁=0（舍去），t₂=1；
当△POQ∽△CPB时，
∴∠POQ=∠BPC=90°，
∴CP⊥AB，
∴PC=3，
∴AP=3，
∴OP=4，
∴t=4．
∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．