试题

（2013·同安区一模）如图，在直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两边分别在x 轴和y轴上，直线L经过点O并将正方形分为两部分，它们的面积之比为m （m＜1）．
（1）当m=

1

2

时，求直线L与正方形相交的另一交点坐标；
（2）若直线L的解析式为y=kx且k=m+1，直线L与正方形的另一个交点为E，点P在线段OE上（不含两端点），记W=-

S△PAB

S△POA

，求W的取值范围．

解：（1）如图1，当直线L与BC相交时，设交点D（a，2），则
S_△DOC=a，S_{四边形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a
∵

S△ODC

S四边形OABD

=

a

4-a

=

1

2

∴a=

4

3

，即D（

4

3

，2），
当直线L与BC相交时，设交点D′，
依据正方形对称性可得D′点坐标为：（2，

4

3

）；

（2）如图2，
∵m＞0，k=m+1
∴k＞1，
∵y=kx
∴k=

y

x

＞1即y＞x
故点E在BC上，设为（b，2），
∴2=k·b，S_△EOC=b．
∴k=

2

b

，则

2

b

=m+1，
∴m=

2-b

b

，
∵

S△OEC

S四边形OABE

=m，
∴

b

4-b

=

2-b

b

，
解得：b=

4

3

，
∴4-b=

8

3

，
∴m=

2- 4 3

4 3

=

1

2

，
即E与D重合．此时直线L的解析式为y=

3

2

x．
设P（c，d），则d=

3

2

c(0＜c＜

4

3

)，
W=-

S△PAB

S△POA

=-

2-c

d

=

c-2

3 2 c

=

2

3

(1-

2

c

)，
∵0＜c＜

4

3

∴-

2

c

＜-

3

2

，
∴

2

3

(1-

2

c

)＜-

1

3

即W＜-

1

3

．
解：（1）如图1，当直线L与BC相交时，设交点D（a，2），则
S_△DOC=a，S_{四边形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a
∵

S△ODC

S四边形OABD

=

a

4-a

=

1

2

∴a=

4

3

，即D（

4

3

，2），
当直线L与BC相交时，设交点D′，
依据正方形对称性可得D′点坐标为：（2，

4

3

）；

（2）如图2，
∵m＞0，k=m+1
∴k＞1，
∵y=kx
∴k=

y

x

＞1即y＞x
故点E在BC上，设为（b，2），
∴2=k·b，S_△EOC=b．
∴k=

2

b

，则

2

b

=m+1，
∴m=

2-b

b

，
∵

S△OEC

S四边形OABE

=m，
∴

b

4-b

=

2-b

b

，
解得：b=

4

3

，
∴4-b=

8

3

，
∴m=

2- 4 3

4 3

=

1

2

，
即E与D重合．此时直线L的解析式为y=

3

2

x．
设P（c，d），则d=

3

2

c(0＜c＜

4

3

)，
W=-

S△PAB

S△POA

=-

2-c

d

=

c-2

3 2 c

=

2

3

(1-

2

c

)，
∵0＜c＜

4

3

∴-

2

c

＜-

3

2

，
∴

2

3

(1-

2

c

)＜-

1

3

即W＜-

1

3

．