试题

题目：
青果学院边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为
1+
2
+
3
1+
2
+
3
．
答案
1+
2
+
3

青果学院解：如图：
连接OC，当OC垂直平分AB时，OC最大．
此时∠ACO=30°，∠AOC=22.5°．
在直角△ACE中，CE=AC·sin60°=2×
3
2
=
3
．AE=AC·cos60°=2×
1
2
=1．
在直角△AOE中，∠AOE=22.5°，∠OAE=67.5°，
在EO上截取EF=EA=1，连接AF，则△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=
2
，∠EAF=45°，
∴∠FAO=22.5°=∠FOA．
∴FO=FA=
2
，
∴OC=OF+FE+EC=
2
+1+
3
．
故答案是：1+
2
+
3
．
考点梳理
解直角三角形；坐标与图形性质．
连接OC，当OC垂直平分AB时，线段OC的长最大，在两个直角三角形△ACE和△AOE中进行计算求出OC的长．
本题考查的是解直角三角形，在直角△ACE中，用余弦求出CE的长，在直角△AOE中，根据两个锐角的关系，在较长直角边上截取较短的直角边长，根据等腰直角三角形以及等边对等角求出OE的长，然后得到OC的值．
计算题．
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