试题

（2006·舟山）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．

解：（1）两个三角形全等．
∵△AOB、△CBD都是等边三角形，
∴OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD；
∵OB=AB，BC=BD，
△OBC≌△ABD；

（2）点E位置不变．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∠OAE=180°-60°-60°=60°；
在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°=

3

，
或∠AEO=30°，得AE=2，
∴OE=

3

∴点E的坐标为（0，

3

）；

（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG=

m

n

；
又∵OC是直径，
∴OE是圆的切线，OE²=EG·EF，
在Rt△EOA中，AE=

3+1

=2，
（

3

）²=（2-

m

n

）（2+n）
即2n²+n-2m-mn=0
解得m=

2n2+n

n+2

．
解：（1）两个三角形全等．
∵△AOB、△CBD都是等边三角形，
∴OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD；
∵OB=AB，BC=BD，
△OBC≌△ABD；

（2）点E位置不变．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∠OAE=180°-60°-60°=60°；
在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°=

3

，
或∠AEO=30°，得AE=2，
∴OE=

3

∴点E的坐标为（0，

3

）；

（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG=

m

n

；
又∵OC是直径，
∴OE是圆的切线，OE²=EG·EF，
在Rt△EOA中，AE=

3+1

=2，
（

3

）²=（2-

m

n

）（2+n）
即2n²+n-2m-mn=0
解得m=

2n2+n

n+2

．