试题

（2009·枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足

OB2-3

+|OA-1|=0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵

OB2-3

+|OA-1|=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=

3

，OA=1．（1分）
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0，

3

）．（2分）

（2）由（1），得AC=4，AB=

12+( 3 )2

=2，BC=

32+( 3 )2

=2

3

，
∴AB²+BC²=2²+（2

3

）²=16=AC²．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．（4分）
设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=

t

2

，
∴S=S_△ABC-S_△APC=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

t

2

=2

3

-t（0≤t＜2

3

）．（7分）
（说明：不写t的范围不扣分）

（3）存在，满足条件的有两个．
P₁（-3，0），（8分）
P₂（-1，

2

3

3

）．（10分）
解：（1）∵

OB2-3

+|OA-1|=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=

3

，OA=1．（1分）
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0，

3

）．（2分）

（2）由（1），得AC=4，AB=

12+( 3 )2

=2，BC=

32+( 3 )2

=2

3

，
∴AB²+BC²=2²+（2

3

）²=16=AC²．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．（4分）
设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=

t

2

，
∴S=S_△ABC-S_△APC=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

t

2

=2

3

-t（0≤t＜2

3

）．（7分）
（说明：不写t的范围不扣分）

（3）存在，满足条件的有两个．
P₁（-3，0），（8分）
P₂（-1，

2

3

3

）．（10分）