如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设...-青果题库-青果学院

题目：

（2010·海南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．

答案

解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x²+bx+c上，于是得

-9+3b+c=0

c=3

，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为y=-x²+2x+3；

（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x²+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x²+2x+3）-（-x+3），
=-x²+3x，
=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
∴当x=

3

2

时，
线段PN的长度的最大值为

9

4

．
②解：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，青果学院

又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=-x²+2x+3上，于是有a=-a²+2a+3，
∴a²-a-3=0，
解得a1=

1+

13

2

，a2=

1-

13

2

，（10分）
∴点P的坐标为：(

1+

13

2

，

1+

13

2

)或(

1-

13

2

，

1-

13

2

)，
若点P的坐标为(

1+

13

2

，

1+

13

2

)，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=

1+

13

2

，
OB=OC=3，
S_△BPC=S_{四边形BOCP}-S_△BOC=2S_△BOP-S_△BOC=2×

1

2

·BO·PM-

1

2

BO·CO，
=2×

1

2

×3×

1+

13

2

-

9

2

，
=

3

13

-6

2

，
若点P的坐标为(

1-

13

2

，

1-

13

2

)，此时点P在第三象限，
则S_△BPC=S_△BOP+S_△COP+S_△BOC=

1

2

×3×|

1-

13

2

|×2+

1

2

×3×3，
=

1

2

×3×

13

-1

2

×2+

9

2

=

3

13

-3+9

2

=

3

13

+6

2

，