试题

（2012·道里区一模）如图，△ABC，A（

25

6

，0），B（3，4），将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处
（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点0出发以5个单位，秒的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α=

1

2

∠OAB．设线段0Q的长为d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接CP，点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此时t的值，并判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．

解：（1）设C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，AB=

(3- 25 6 )2+42

=

25

6

；
又∵将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处，
∴OA=OC，AB=CB；
∴

x2+y2= 625 36 (x-3)2+(y-4)2= 625 36

，
解得

x=- 7 6 y=4

，
∴点C的坐标是（-

7

6

，4）；

（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，OG=3，BG=4，
∴AG=

7

6

，
∴AC=

20

3

（勾股定理）；
∴AE=

10

3

；
同理，OE=

5

2

；
①当0≤t＜

1

2

时，
∵OP=5t，
∴PE=

5

2

-5t，
∴

5 2 -5t

d

=

10 3

25 6

，
∴d=-

25

4

t+

25

8

；
②当

1

2

≤t≤1时，同理：d=

25

4

t-

25

8

；

（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=

1

2

∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF=

OF

OB

=

PK

PB

=

4

5

；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=

5

2

-5t，PB=5-5t，
∴

5t- 5 2

5-5t

=

4

5

，
解得，t=

13

18

，
∴存在CP∥AQ，此时t=

13

18

；
∵

1

2

＜

13

18

≤1，
∴t=

13

18

时，OQ=d=

25

4

t-

25

8

=

25

18

，BP=OB-OP=5-5t=5-

13

18

×5=

25

18

，
∴BP=OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此时t=

13

18

，且点B在⊙P上．
解：（1）设C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，AB=

(3- 25 6 )2+42

=

25

6

；
又∵将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处，
∴OA=OC，AB=CB；
∴

x2+y2= 625 36 (x-3)2+(y-4)2= 625 36

，
解得

x=- 7 6 y=4

，
∴点C的坐标是（-

7

6

，4）；

（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，OG=3，BG=4，
∴AG=

7

6

，
∴AC=

20

3

（勾股定理）；
∴AE=

10

3

；
同理，OE=

5

2

；
①当0≤t＜

1

2

时，
∵OP=5t，
∴PE=

5

2

-5t，
∴

5 2 -5t

d

=

10 3

25 6

，
∴d=-

25

4

t+

25

8

；
②当

1

2

≤t≤1时，同理：d=

25

4

t-

25

8

；

（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=

1

2

∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF=

OF

OB

=

PK

PB

=

4

5

；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=

5

2

-5t，PB=5-5t，
∴

5t- 5 2

5-5t

=

4

5

，
解得，t=

13

18

，
∴存在CP∥AQ，此时t=

13

18

；
∵

1

2

＜

13

18

≤1，
∴t=

13

18

时，OQ=d=

25

4

t-

25

8

=

25

18

，BP=OB-OP=5-5t=5-

13

18

×5=

25

18

，
∴BP=OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此时t=

13

18

，且点B在⊙P上．