试题

题目：
已知△ABC中，∠C=90°，三边为a，b，c，若关于x的方程a(1-x2)-2
2
bx+c(1+x2)=0的两根平方和为12，则a：b：c=
1：2
2
：3
1：2
2
：3
．
答案
1：2
2
：3

解：先把关于x的方程a(1-x2)-2
2
bx+c(1+x2)=0整理为：（c-a）x2-2
2
bx+c+a=0，
设此方程两根为x1，x2，∴x1+x2=
2
2
b
c-a
，x1x2=
c+a
c-a
，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=12，
(
2
2
b
c-a
)2-2
c+a
c-a
=12，把b2=a2-c2代入得：c2-4ac+3c2=0，
（c-a）（c-3a）=0，
∵c＞0，∴c=3a，b=2
2
a，
a：b：c=1：2
2
：3．
故答案为：1：2
2
：3．
考点梳理
根与系数的关系；勾股定理．
先把关于x的方程a(1-x2)-2
2
bx+c(1+x2)=0整理为：（c-a）x2-2
2
bx+c+a=0，设此方程两根为x1，x2，根据根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系及勾股定理，难度适中，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
计算题．
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