试题

题目：
已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB=6，CD=2，则梯形ABCD的面积为
4
15
+4
7
或4
15
-4
7
4
15
+4
7
或4
15
-4
7
．
答案
4
15
+4
7
或4
15
-4
7

青果学院解：过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA，OC．
在直角△OCE中，CE=
1
2
CD=1，OC=4．
∴OE=
OC2-CE2
=
42-1
=
15
；
同理，在直角△AOF中，AF=
1
2
AB=3．
∴OF=
OA2-AF2
=
16-9
=
7
．
1）当CD与AB在圆心的同侧时，
则梯形的高EF=
15
-
7
．
则梯形的面积是：
1
2
（CD+AB）·EF=
1
2
×（2+6）×（
15
-
7
）=4
15
-4
7
；
2）当CD与AB在圆心的两侧时，
梯形的高EF=
15
+
7
．
则梯形的面积是：
1
2
（CD+AB）·EF=
1
2
×（2+6）×（
15
+
7
）=4
15
+4
7
．
故答案是：4
15
+4
7
或4
15
-4
7
．
考点梳理
垂径定理；勾股定理．
梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解．
本题考查了垂径定理，注意到分两种情况进行讨论，求得梯形的高是关键．
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