试题

题目：
在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AH⊥BC，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，与BC的延长线相交于点F．那么AF=
6
6
．
答案
6

青果学院解：∵AH⊥BC，
∴AC2-CH2=AB2-BH2，
则42-CH2=62-（5-CH）2，
解得，CH=0.5，
则BH=BC-CH=5-0.5=4.5，
在直角三角形AHC中，AH=
AC2-CH2
=
42-0.52
=
3
7
2
，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴
AB
AC
=
BP
PC
，即
6
4
=
BH-PH
PH+0.5
，
解得PH=1.5，
在Rt△APH中，AP=
AH2+PH2
=3
2
，
又∵EF是AP的垂直平分线，
∴△FEP≌△FEA（SAS），
∴∠FEP=∠FAE，
∴△APH∽△FEA，
∴
AP
AF
=
PH
1
2
AP
，
则AF=
1
2
AP2 
PH
=
1
2
× (3
2
)2 
1.5
=6．
故答案为：6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
根据AH⊥BC，利用勾股定理求出CH，然后可得BH的长，再利用勾股定理求出AH，利用角平分线的性质求出PH，再利用勾股定理求出AP，再利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质得出
AP
AF
=
PH
1
2
AP
，然后即可求得AF．
此题主要考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等多个知识点，综合性强．难度较大，属于难题．
计算题．
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