试题

题目：
（2012·黄石）如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：
AC
AB
=
CD
DB
，
AC1
AB1
=
C1D
DB1
是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问
AC
AB
=
CD
DB
一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90·，AC=8，AB=
40
3
，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求
DF
FA
的值．
青果学院
答案
解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴
AC
AB
=
CD
DB
；
∵∠C1AB1=60°，
∴∠B1=30°，
∴AB1=2AC1，
又∵∠DAB1=30°，
∴DA=DB1，
而DA=2DC1，
∴DB1=2DC1，
∴
AC1
AB 1
=
C1D
DB1
；

（2）结论仍然成立，理由如下：
青果学院如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴
AC
EB
=
CD
BD

而BE=AB，
∴
AC
AB
=
CD
DB
；

（3）如图，连DE，青果学院
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴
CD
DB
=
AC
AB
=
8
40
3
=
3
5
，
EF
FC
=
AE
AC
=
5
8
，
又∵
AE
EB
=
5
40
3
-5
=
3
5
，
∴
CD
DB
=
AE
EB
，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴
DF
AF
=
EF
CF
=
5
8
．
解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴
AC
AB
=
CD
DB
；
∵∠C1AB1=60°，
∴∠B1=30°，
∴AB1=2AC1，
又∵∠DAB1=30°，
∴DA=DB1，
而DA=2DC1，
∴DB1=2DC1，
∴
AC1
AB 1
=
C1D
DB1
；

（2）结论仍然成立，理由如下：
青果学院如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴
AC
EB
=
CD
BD

而BE=AB，
∴
AC
AB
=
CD
DB
；

（3）如图，连DE，青果学院
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴
CD
DB
=
AC
AB
=
8
40
3
=
3
5
，
EF
FC
=
AE
AC
=
5
8
，
又∵
AE
EB
=
5
40
3
-5
=
3
5
，
∴
CD
DB
=
AE
EB
，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴
DF
AF
=
EF
CF
=
5
8
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理．
（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得
AC
AB
=
CD
DB
；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得
AC1
AB 1
=
C1D
DB1
；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到
AC
BE
=
CD
DB
，而BE=AB，于是有
AC
AB
=
CD
DB
，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到
CD
DB
=
AC
AB
=
8
40
3
=
3
5
，
EF
FC
=
AE
AC
=
5
8
，又
AE
EB
=
5
40
3
-5
=
3
5
，则有
CD
DB
=
AE
EB
，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
∴
DF
AF
=
EF
CF
=
5
8
．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．
压轴题；探究型．
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