试题

题目：
青果学院如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则
AE
AD
=
1
2
，1，
5
-1
2
1
2
，1，
5
-1
2
．
答案
1
2
，1，
5
-1
2

解：①当FC=FD，点E与点D重合时，即四边形为正方形，则
AE
AD
=1；
青果学院
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，
青果学院
∵DF=CD，
∴FM=CM，
∵∠DCM=BAF，CD=AB，
∴△ABF≌△CDM，
∴AF=CM，
∴
AE
AD
=
AE
BC
=
AF
FC
=
1
2
；
③当FC=DC，∵四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△ABF∽△BCF，
∴
AB
BC
=
BF
FC
，
CD
AD
=
AE
CD
，
则CD2=AD·AE，
∵FC=DC，四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE2=BE2-AB2=AD2-CD2，
∴AE=
AD2-CD2
=
AD2-AD·AE
，
∴AE2=AD2-AD·AE，
AD2-AD·AE-AE2=0，
解得AD=
1+
5
2
AE，AD=
1-
5
2
AE（不合题意舍去），
∴
AE
AD
=
2
1+
5
=
5
- 1
2
．
故答案为：1；
1
2
；
5
- 1
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
根据△CDF为等腰三角形，可以分三种情况进行讨论：①FC=FD，②DF=DC，③CF=CD；
①当点E与点D重合时，即四边形为正方形时，很容易得出结论；
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，利用已知条件求证△ABF≌△CDM，然后即可得出
AE
AD
；
③根据△ABF∽△BCF，利用其对应边成比例得CD2=AD·AE，再利用（AAS）求证△BFC≌△ABE可得AE=BF，然后利用勾股定理解得关于AD的方程即可．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，此题要采用分类讨论的思想，是一道难题．
计算题；压轴题；分类讨论．
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