试题

题目：
青果学院如图：割线ABC过圆心O点，且D是
BE
中点，若AB=BO，CE=18，则DE=
6
2
6
2
．
答案
6
2

青果学院解：如图，设⊙O的半径为R，连接OE，BE，OD，OD交BE于F．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，CE⊥BE，
∵D是
BE
中点，
∴OD⊥BE，
∴OD∥CE，
∴△AOD∽△ACE，△BOF∽△BCE，
∴
OD
CE
=
AO
AC
，
OF
CE
=
BO
BC
，
即
R
18
=
2R
3R
，
OF
18
=
R
2R
，
解得R=12，OF=9，
∴DF=OD-OF=12-9=3．
∵EF⊥OD，
∴DE2-DF2=EF2=OE2-OF2，
∴DE2-32=122-92，
解得DE=6
2
（负值舍去）．
故答案为6
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
设⊙O的半径为R，连接OE，BE，OD，OD交BE于F．先由圆周角定理得出CE⊥BE，由垂径定理的推论得出OD⊥BE，则OD∥CE，从而得出△AOD∽△ACE，△BOF∽△BCE，根据相似三角形对应边成比例求出R=12，OF=9，则DF=OD-OF=12-9=3．再由EF⊥OD，根据勾股定理得出DE2-DF2=EF2=OE2-OF2，将数值代入计算即可求出DE的长．
本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．
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