试题

题目：
青果学院如图，圆O与直角三角形ABC的边AB，AC相切于D、E，已知∠BAC=60°，AB=4cm，圆O的半径为1cm，则AD=
3
3
cm；若圆O在三角形内沿内壁以每秒1cm的速度匀速滚动，则滚动一周所用的时间是
6
6
秒．
答案
3

6

青果学院解：（1）连接OA，OD．
∵圆O与直角三角形ABC的边AB，AC相切于点D、点E，
∴∠OAD=
1
2
∠BAC=30°．
∵OD=1，
∴AD=cot30°×OD=
3
；

（2）连接CO1，NO1
在Rt△ABC中，BC=4
3
，AC=8，
⊙O在Rt△ABC中所滚动的路线为Rt△OO1O2的周长．青果学院
∵AB=4，AD=
3
，BP=1，
∴OO2=4-1-
3
=3-
3
．
∵CN=cot（
1
2
∠C）×NO1=cot15°×1=2+
3
，BC=4
3
，
∴O1O2=4
3
-（2+
3
）-1=3
3
-3．
∴OO1=8-（2+
3
）-
3
=6-2
3
．
∴Rt△OO1O2的周长为6-2
3
+3
3
-3+3-
3
=6．
∴⊙O滚动一周所用的时间为
6
1
=6秒．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；解直角三角形．
（1）连接OA和OD，根据切线的性质可知：OD⊥OA．在Rt△AOD中，利用三角函数定义可求AD的长；
（2）通过⊙O与Rt△ABC各边相切，可将⊙O所滚动的路线求出．
在解决本题时应将圆所滚动的运动轨迹求出．本题中涉及到了切线的性质，解直角三角形和勾股定理的运用．
综合题；压轴题．
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