试题

（2011·襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当

AP

AB

的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：∵△PFD∽△BFP
∴

PB

BF

=

PD

PF

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A
∴△DAP∽△PBF
∴

PD

PF

=

AP

BF

∴PA=PB
∴当

AP

AB

=

1

2

时，△PFD∽△BFP．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：∵△PFD∽△BFP
∴

PB

BF

=

PD

PF

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A
∴△DAP∽△PBF
∴

PD

PF

=

AP

BF

∴PA=PB
∴当

AP

AB

=

1

2

时，△PFD∽△BFP．