试题

题目：
青果学院（2011·自贡）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙B经过坐标原点0，且与x轴、y轴分别交于A，C两点，过O作⊙B的切线与AC的延长线交于点D．已知点A的坐标为（
3
，0）．
（1）求sin∠CAO的值；
（2）若反比例函数的图象经过点D，求该反比例函数的解析式．
答案
解：（1）由A（
3
，0）得，OA=
3
，
在Rt△AOC中，由AC=2，OA=
3
，
根据勾股定理得：OC=
AC2-AO2
=1，
则在Rt△AOC中，sin∠CAO=
OC
AC
=
1
2
；
（2）连接0B，过D作DE⊥x轴于点E，
青果学院
∵OD切⊙B于0，∴0B⊥OD，
∵在Rt△AOC中，sin∠CAO=
1
2
，
∵BA=OB，
∴∠CAO=∠BOA=30°，
∴∠DBO=∠CAO+∠BOA=2∠BOA=60°，又∠BOD=90°，
∴∠ODB=30°，即∠ODA=∠OAD，
∴OD=OA=
3
，
∵∠DOE=60°，DO=
3
，
∴OE=
1
2
0D=
3
2
，DE=OD·sin60°=
3
2
，
∴点D坐标为（-
3
2
，
3
2
），
设反比例函数解析式为y=
k
x
，由其图象过点D，
∴
3
2
=
k
-
3
2
，即k=-
3
3
4
，
则该反比例函数解析式为y=
-
3
3
4
x
，即y=-
3
3
4x
．
解：（1）由A（
3
，0）得，OA=
3
，
在Rt△AOC中，由AC=2，OA=
3
，
根据勾股定理得：OC=
AC2-AO2
=1，
则在Rt△AOC中，sin∠CAO=
OC
AC
=
1
2
；
（2）连接0B，过D作DE⊥x轴于点E，
青果学院
∵OD切⊙B于0，∴0B⊥OD，
∵在Rt△AOC中，sin∠CAO=
1
2
，
∵BA=OB，
∴∠CAO=∠BOA=30°，
∴∠DBO=∠CAO+∠BOA=2∠BOA=60°，又∠BOD=90°，
∴∠ODB=30°，即∠ODA=∠OAD，
∴OD=OA=
3
，
∵∠DOE=60°，DO=
3
，
∴OE=
1
2
0D=
3
2
，DE=OD·sin60°=
3
2
，
∴点D坐标为（-
3
2
，
3
2
），
设反比例函数解析式为y=
k
x
，由其图象过点D，
∴
3
2
=
k
-
3
2
，即k=-
3
3
4
，
则该反比例函数解析式为y=
-
3
3
4
x
，即y=-
3
3
4x
．
考点梳理
切线的性质；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；锐角三角函数的定义．
（1）由A的坐标及A的位置，得到OA的长，再由AC为圆的直径，根据半径的长得出AC的长，在直角三角形OAC中，根据勾股定理求出OC的长，进而根据∠CAO的对边OC及斜边AC的长，利用锐角三角形函数定义即可求出sin∠CAO的值；
（2）连接OB，由OD为圆B的切线，根据切线的性质得到OB与OD垂直，即∠BOD为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得一对角相等，再由∠CBO为三角形AOB的外角，根据外角性质可得出∠CBO的度数，进而在直角三角形BOD中求出∠ODB的度数，可得出∠ODB=∠OAD，根据等角对等边可得OA=OD，由OA的长得出OD的长，然后过D作DE垂直于x轴，由∠DOE为三角形AOD的外角，得出∠DOE的度数，根据斜边OD的长，利用正弦及余弦函数定义求出DE与OE的长，进而确定出点D的坐标，设过D的反比例函数解析式为y=
k
x
，把D坐标代入确定出k的值，即可确定出反比例的解析式．
此题考查了切线的性质，三角形外角的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，以及利用待定系数法求反比例函数的解析式，已知切线，常常连接圆心与切点，由切线性质得垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．
计算题；压轴题．
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