试题

（2012·北海）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠EAC=∠CAB；
（2）若CD=4，AD=8：①求O的半径；②求tan∠BAE的值．

（1）证明：连接OC．（1分）
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，（2分）
∵OC=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即∠EAC=∠CAB；（3分）

（2）解：①连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，（5分）
∵AC²=AD²+CD²=4²+8²=80，
∴AB=

AC2

AD

=

80

8

=10，
∴⊙O的半径为10÷2=5．（6分）

②连接CF与BF．
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∵∠DFC+∠AFC=180°，
∴∠DFC=∠ABC，
∵∠2+∠ABC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠2=∠DCF，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCF，
∵∠CDF=∠CDF，
∴△DCF∽△DAC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，（8分）
∴DF=

CD2

AD

=

42

8

=2，
∴AF=AD-DF=8-2=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BFA=90°，
∴BF=

AB2-AF2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAD=

BF

AF

=

8

6

=

4

3

．   （10分）
（1）证明：连接OC．（1分）
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，（2分）
∵OC=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即∠EAC=∠CAB；（3分）

（2）解：①连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，（5分）
∵AC²=AD²+CD²=4²+8²=80，
∴AB=

AC2

AD

=

80

8

=10，
∴⊙O的半径为10÷2=5．（6分）

②连接CF与BF．
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∵∠DFC+∠AFC=180°，
∴∠DFC=∠ABC，
∵∠2+∠ABC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠2=∠DCF，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCF，
∵∠CDF=∠CDF，
∴△DCF∽△DAC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，（8分）
∴DF=

CD2

AD

=

42

8

=2，
∴AF=AD-DF=8-2=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BFA=90°，
∴BF=

AB2-AF2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAD=

BF

AF

=

8

6

=

4

3

．   （10分）