试题

（2011·乐山）如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．

（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是．证明：
（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是．证明：
（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是．（写出关系式，不必证明）

证明：（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=

1

2

AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=

1

2

AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（2）解：EF=

1

n

EG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

n+1

，
即EM=

1

n+1

CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴

EN

AD

=

CE

AC

=

n

n+1

∴EN=

n

n+1

AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴

CD

AD

=

BC

AC

=1，
∴

EM

EN

=1×

1

n

=

1

n

，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

n

，
即EF=

1

n

EG；

（3）EF=

1

mn

EG．