试题

题目：
青果学院（2010·株洲）如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2
5
，sinB=
5
5
，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．
答案
解：（1）在Rt△ABC中，sinB=
5
5
，AB=2
5
，
得
AC
AB
=
5
5
，
∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）

（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴
DC
PC
=
AC
BC
=
1
2
；
设PC=x，则DC=
1
2
x，AD=2-
1
2
x，
∴S△ADP=
1
2
AD·PC=
1
2
(2-
1
2
x)·x=-
1
4
x2+x=-
1
4
(x-2)2+1
∴当x=2时，y的最大值是1． （8分）
解：（1）在Rt△ABC中，sinB=
5
5
，AB=2
5
，
得
AC
AB
=
5
5
，
∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）

（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴
DC
PC
=
AC
BC
=
1
2
；
设PC=x，则DC=
1
2
x，AD=2-
1
2
x，
∴S△ADP=
1
2
AD·PC=
1
2
(2-
1
2
x)·x=-
1
4
x2+x=-
1
4
(x-2)2+1
∴当x=2时，y的最大值是1． （8分）
考点梳理
二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
（1）在Rt△ABC中，根据∠B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；
（2）由于PD∥AB，易证得△CPD∽△CBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值．
此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识．
综合题；压轴题．
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