试题

题目：
青果学院（2011·本溪）如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）相交于点E，且CE=DE，过点B作CD的平行线交AD延长线于点F．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，sin∠BCD=
3
4
，求CD的长？
答案
青果学院（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE=DE，
∴AB⊥CD（垂径定理），
∴∠AED=90°，
∵CD∥BF，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB·sin∠BAD=AB·sin∠BCD=8×
3
4
=6，
∴AD=
AB2-BD2
=2
7
，
∵S△ABD=
1
2
AB·DE=
1
2
AD·BD，
∴DE=
AD·BD
AB
=
3 
7
2
，
∴CD=2DE=3
7
．
青果学院（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE=DE，
∴AB⊥CD（垂径定理），
∴∠AED=90°，
∵CD∥BF，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB·sin∠BAD=AB·sin∠BCD=8×
3
4
=6，
∴AD=
AB2-BD2
=2
7
，
∵S△ABD=
1
2
AB·DE=
1
2
AD·BD，
∴DE=
AD·BD
AB
=
3 
7
2
，
∴CD=2DE=3
7
．
考点梳理
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
（1）由AB是⊙O的直径，CE=DE，得∠AED=90°，再由CD∥BF，得∠ABF=∠AED=90°，从而得出BF是⊙O的切线；
（2）连接BD，因为AB是⊙O的切线，则∠ADB=90°，再由sin∠BCD=
3
4
，求得AD，根据三角形的面积得DE的长，从而得出CD．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，是一道综合题，难度不大．
计算题；压轴题．
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