试题

（2011·防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=

2

，求EB的长．

（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中

AB=AD ∠EAB=∠GAD AE=AG

，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD．


（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=

AB2+AD2

=2

2

，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO²=2²，
OA=

2

，
即OG=OA+AG=

2

+

2

=2

2

，
∴EB=GD=

OG2+OD2

=

8+2

=

10

．

（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中

AB=AD ∠EAB=∠GAD AE=AG

，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD．


（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=

AB2+AD2

=2

2

，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO²=2²，
OA=

2

，
即OG=OA+AG=

2

+

2

=2

2

，
∴EB=GD=

OG2+OD2

=

8+2

=

10

．