试题

题目：
青果学院如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1=
12
5
12
5
，
C4A5
A5C5
=
5
4
5
4
．
答案
12
5

5
4

解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=
32+42
=5，
又因为CA1⊥AB，
∴
1
2
AB·CA1=
1
2
AC·BC，
即CA1=
AC·BC
AB
=
3×4
5
=
12
5
．
∵C4A5⊥AB，
∴△BA5C4∽△BCA，
∴
A5C4
AC
=
A5C5
A1C
，
∴
C4A5
A5C5
=
AC
A1C
=
3
12
5
=
5
4
．
所以应填
12
5
和
5
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理．
由于在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，利用等面积法，可以求出CA1=
12
5
；由于△BA5C4∽△BCA，根据相似三角形的性质，即
A5C4
AC
=
A5C5
A1C
，所以
C4A5
A5C5
=
AC
A1C
=
3
12
5
=
5
4
．
本题重点考查了相似三角形的判定和性质，其中相似三角形的性质“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”是解题的关键．
压轴题；规律型．
找相似题