试题

（2008·绵阳）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．

解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8（cm）
∵CD平分∠ACB
∴

AD

=

BD

∴AD=BD
∴AD=BD=

2

2

AB=5

2

（cm）
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF=EG=x，
∴

1

2

AC·x+

1

2

BC·x=

1

2

AC·BC
∴

1

2

×6·x+

1

2

×8×x=

1

2

×6×8
∴x=

24

7

∴CE=

2

x=

24 2

7

∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC
∴DE：BE=AE：

24 2

7

=5

2

：8
∴AE=

30

7

，BE=AB-AE=10-

30

7

=

40

7

∴DE=

25 2

7

∴CD=CE+DE=

24 2

7

+

25 2

7

=7

2

（cm）．
答：弦AD，CD的长依次为5

2

cm，7

2

cm．
解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8（cm）
∵CD平分∠ACB
∴

AD

=

BD

∴AD=BD
∴AD=BD=

2

2

AB=5

2

（cm）
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF=EG=x，
∴

1

2

AC·x+

1

2

BC·x=

1

2

AC·BC
∴

1

2

×6·x+

1

2

×8×x=

1

2

×6×8
∴x=

24

7

∴CE=

2

x=

24 2

7

∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC
∴DE：BE=AE：

24 2

7

=5

2

：8
∴AE=

30

7

，BE=AB-AE=10-

30

7

=

40

7

∴DE=

25 2

7

∴CD=CE+DE=

24 2

7

+

25 2

7

=7

2

（cm）．
答：弦AD，CD的长依次为5

2

cm，7

2

cm．