试题

（2008·资阳）阅读下列材料，按要求解答问题：
如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=

3

b，得a²-b²=（

3

b）²-b²=2b²=b·c．即a²-b²=bc．于是，小明猜测：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式a²-b²=bc都成立．
（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图3，你认为小明的猜想是否正确？若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

解：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=

2

b，
∴a²-b²=（

2

b）²-b²=b²=bc；（3分）

（2）小明的猜想是正确的．（4分）
理由如下：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，（5分）
则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a，（6分）
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，（7分）
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
即

b

a

=

a

b+c

，
∴a²=b²+bc，
∴a²-b²=bc；（8分）

（3）由于三边长为三个连续整数，
设三个连续的偶数是2n-2，2n，2n+2，
则（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），
解得：n=5，则三个数分别是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．（10分）
解：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=

2

b，
∴a²-b²=（

2

b）²-b²=b²=bc；（3分）

（2）小明的猜想是正确的．（4分）
理由如下：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，（5分）
则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a，（6分）
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，（7分）
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
即

b

a

=

a

b+c

，
∴a²=b²+bc，
∴a²-b²=bc；（8分）

（3）由于三边长为三个连续整数，
设三个连续的偶数是2n-2，2n，2n+2，
则（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），
解得：n=5，则三个数分别是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．（10分）