试题

题目：
青果学院（2009·本溪）如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．
答案
青果学院解：（1）直线BD和⊙O相切（1分）
证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）

青果学院（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴AC=
AB2-BC2
=6
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
AC
OB
=
BC
BD

∴
6
5
=
8
BD
，解得BD=
20
3
．（10分）
青果学院解：（1）直线BD和⊙O相切（1分）
证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）

青果学院（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴AC=
AB2-BC2
=6
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
AC
OB
=
BC
BD

∴
6
5
=
8
BD
，解得BD=
20
3
．（10分）
考点梳理
切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．
（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．
此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定的综合运用．
几何综合题；压轴题．
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