试题

题目：
青果学院如图，已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且OP=2厘米，∠AOB=60°，过点P的动直线交OA于点D，交OB于E，那么
1
OD
+
1
OE
=
3
2
3
2
厘米．
答案
3
2

青果学院解：如图，过点P作PM⊥OD于M，PN⊥OE于N，
又∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且OP=2厘米，∠AOB=60°，
∴∠MOP=∠NOP=30°，PM=PN=
1
2
OP=1厘米，
∴S△DOE=S△DOP+S△POE=
1
2
OD·PM+
1
2
OE·PN=
1
2
（OD+OE），
∵S△DOE=
1
2
OD·OE·sin∠DOE=
1
2
OD·OE·
3
2
，
∴
1
2
（OD+OE）=
1
2
OD·OE·
3
2
，
∴OD+OE=
3
2
OD·OE，
∴
1
OD
+
1
OE
=
3
2
．
故答案为
3
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
过点P作PM⊥OD于M，PN⊥OE于N，根据角平分线的性质及直角三角形的性质得出PM=PN=1厘米，则S△DOE=S△DOP+S△POE=
1
2
（OD+OE），又S△DOE=
1
2
OD·OE·sin∠DOE=
1
2
OD·OE·
3
2
，所以
1
2
（OD+OE）=
1
2
OD·OE·
3
2
，将等式变形，即可求出
1
OD
+
1
OE
的值．
本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，根据△DOE的面积不变得到
1
2
（OD+OE）=
1
2
OD·OE·
3
2
，是解题的关键．
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