试题

（2005·滨州）如图，AC是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，连接DO，并延长交BC的延长线于点E．过D作⊙O的切线交BC于点F．
（Ⅰ）求证：F是BC的中点；
（Ⅱ）若BC=2，且S_△DBF：S_△DCE=3：2，求AD：DB的值．

（Ⅰ）证明：∵AC为⊙O的直径，
∠BDC=∠ADC=90°．
∵FD、FC是⊙O的切线，
∴FD=FC．
∴∠FDC=∠FCD．
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FDB=∠B．
∴FD=FB，
∴FB=FC．
∴F是BC中点．

（Ⅱ）解：∵S_△DBF：S_△DCE=3：2，
又∵△DBF边BF上的高与△DCE边CE上的高相等，
∴BF：CE=3：2．
又BC=2，F是BC中点，
∴BF=FC=1，∴CE=

2

3

．
方法一：在Rt△DFE中，
∵DF=1，EF=1+

2

3

=

5

3

，
∴DE=

( 5 3 )2-1

=

4

3

，
设DE交⊙O于H，则
CE²=EH·ED，
∴（

2

3

）²=

4

3

EH；
∴EH=

1

3

；
∴DH=

4

3

-

1

3

=1；
∴AC=1．
在Rt△ABC中，
AB=

BC2+AC2

=

5

；
∵BC切⊙O于C，∴BD·AB=BC²=4；
∴BD=

4

5

AD=

5

-

4

5

=

1

5

；
∴

AD

BD

=

1

4

．

方法二：设

AD

DB

=k，则可设AD=km，DB=m，
∴AB=（k+1）m，
∵BC²=BD·BA，
∴（k+1）m²=4，
∴m=

2

k+1

．
∴AC=

AB2-BC2

=

4(k+1)-4

=2

k

，
∴OC=

k

．
设DE交⊙O于H，EH=x，
由切割线定理，得
EC²=EH·ED，
即

4

9

=x·（x+2

k

）．
∵∠OCE=∠EDF=90°，∠E=∠E，
∴Rt△OCE∽Rt△FDE．
∴

OE

EF

=

OC

DF

，即

x+ k

1+ 2 3

=

k

1

，x=

2

3

k

；
代入（*）式，得

4

9

=

2

3

k

(

2 k

3

+2

k

)，∴k=

1

4

故AD：DB=1：4．
（Ⅰ）证明：∵AC为⊙O的直径，
∠BDC=∠ADC=90°．
∵FD、FC是⊙O的切线，
∴FD=FC．
∴∠FDC=∠FCD．
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FDB=∠B．
∴FD=FB，
∴FB=FC．
∴F是BC中点．

（Ⅱ）解：∵S_△DBF：S_△DCE=3：2，
又∵△DBF边BF上的高与△DCE边CE上的高相等，
∴BF：CE=3：2．
又BC=2，F是BC中点，
∴BF=FC=1，∴CE=

2

3

．
方法一：在Rt△DFE中，
∵DF=1，EF=1+

2

3

=

5

3

，
∴DE=

( 5 3 )2-1

=

4

3

，
设DE交⊙O于H，则
CE²=EH·ED，
∴（

2

3

）²=

4

3

EH；
∴EH=

1

3

；
∴DH=

4

3

-

1

3

=1；
∴AC=1．
在Rt△ABC中，
AB=

BC2+AC2

=

5

；
∵BC切⊙O于C，∴BD·AB=BC²=4；
∴BD=

4

5

AD=

5

-

4

5

=

1

5

；
∴

AD

BD

=

1

4

．

方法二：设

AD

DB

=k，则可设AD=km，DB=m，
∴AB=（k+1）m，
∵BC²=BD·BA，
∴（k+1）m²=4，
∴m=

2

k+1

．
∴AC=

AB2-BC2

=

4(k+1)-4

=2

k

，
∴OC=

k

．
设DE交⊙O于H，EH=x，
由切割线定理，得
EC²=EH·ED，
即

4

9

=x·（x+2

k

）．
∵∠OCE=∠EDF=90°，∠E=∠E，
∴Rt△OCE∽Rt△FDE．
∴

OE

EF

=

OC

DF

，即

x+ k

1+ 2 3

=

k

1

，x=

2

3

k

；
代入（*）式，得

4

9

=

2

3

k

(

2 k

3

+2

k

)，∴k=

1

4

故AD：DB=1：4．