试题

（2005·杭州）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，运动时间为t秒，求：
（1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半；
（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？

解：（1）分别过C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，
∵BC=16，∠B=60°，
∴CG=BC·sin60°=8

3

，
又∵AB=24，
∴S_△ABC=

1

2

AB·CG=96

3

，
又∵AP=4t，CQ=2t，
∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8），
∴QH=BQ·sin60°=（8-t）

3

，
∴S_△PBQ=

1

2

BP·QH=

1

2

×（24-4t）×（8-t）

3

，
又∵S_△PBQ=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×（24-4t）×（8-t）

3

=

1

2

×96

3

，
∴t²-14t+24=0，
∴t₁=2，t₂=12（舍去），
∴当t为2秒时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半．

（2）当t=2时，HQ=6

3

，BQ=12，BP=16，
∴BH=

1

2

BQ=6，PH=16-6=10，
又∵在Rt△PQH中，PQ²=HQ²+PH²，
∴PQ=

(6 3 )2+102

=4

13

．
解：（1）分别过C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，
∵BC=16，∠B=60°，
∴CG=BC·sin60°=8

3

，
又∵AB=24，
∴S_△ABC=

1

2

AB·CG=96

3

，
又∵AP=4t，CQ=2t，
∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8），
∴QH=BQ·sin60°=（8-t）

3

，
∴S_△PBQ=

1

2

BP·QH=

1

2

×（24-4t）×（8-t）

3

，
又∵S_△PBQ=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×（24-4t）×（8-t）

3

=

1

2

×96

3

，
∴t²-14t+24=0，
∴t₁=2，t₂=12（舍去），
∴当t为2秒时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半．

（2）当t=2时，HQ=6

3

，BQ=12，BP=16，
∴BH=

1

2

BQ=6，PH=16-6=10，
又∵在Rt△PQH中，PQ²=HQ²+PH²，
∴PQ=

(6 3 )2+102

=4

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