试题

题目：
（2005·沈阳）某工厂中有若干个形状完全相同的直角三角形铁片余料，（如图），已知∠ACB=90°，AC=3，BC=4，现准备对两块铁片余料进行裁剪，方案如下：
方案一：如图1，裁出一个扇形，圆心为点C，并且与AB相切于点D．
方案二：如图2，裁出一个半圆，圆心O在BC上，并且与AB、AC相切于点D、C；
青果学院
（1）分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积，并把计算结果直接填在横线上．按照方案一裁出的扇形面积是
36
25
π
36
25
π
；按照方案二裁出的半圆的面积是
9
8
π
9
8
π
；
（2）写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程．
答案
36
25
π

9
8
π

青果学院解：（1）
36
25
π，
9
8
π；
如图1：连接CD，
∵AB切扇形于点D，
∴CD⊥AB，
∴CD=
AC·BC
AB
=
12
5
，
∴S扇形=
90
360
π×（
12
5
）2=
36
25
π；

（2）连OD，则OD⊥AB，
∵AC、AD分别切半⊙O于C、D
∴AC=AD=3；
又Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴BD=2；
设半⊙O的半径为x，则OD=OC=x，OB=4-x；
又在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
∴（4-x）2=x2+22；
解得x=
3
2
；
∴半圆的面积=
1
2
π·(
3
2
)2=
9
8
π．
考点梳理
扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．
（1）连接CD，根据勾股定理，可求出AB=5，利用面积公式计算CD=
12
5
，再用扇形面积公式可计算出其面积．
（2）连接OD，根据切线性质，可得AD=AC，那么BD=2；在Rt△ODB中，利用勾股定理可计算出OD的长，再用扇形面积公式计算就可以了．
本题考查了勾股定理、切线长定理、扇形面积公式等知识．
方案型．
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