试题

（2006·临汾）如图，网格中每个小正方形的边长均为1．在AB的左侧，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分．
（1）图中△ABC是什么特殊三角形？
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）作出阴影部分关于AB所在直线的对称图形．

解：（1）∵四边形ADCE时正方形，
∴∠DAC=45°，
同理∠CBA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形；（2分）

（2）设以AC，BC，AB为直径的半圆面积分别为S₁，S₂，S₃；
解法1：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=8，由勾股定理，可得AC=BC=4

2

．
∴S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃（3分）
=

1

2

π（2

2

）²+

1

2

π（2

2

）²+

1

2

×（4

2

）²-

1

2

π×4²，
=16．（5分）
解法2：S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃（3分）
=

1

2

π（

AC

2

）²+

1

2

π（

BC

2

）²+S_△ABC-

1

2

π（

AB

2

）²，
=

1

8

π（AC²+BC²-AB²）+S_△ABC．（4分）
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AC²+BC²=AB²，
∴S_阴影=S_△ABC=

1

2

×8×4=16．（5分）

（3）作图正确（如右图）．（8分）
解：（1）∵四边形ADCE时正方形，
∴∠DAC=45°，
同理∠CBA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形；（2分）

（2）设以AC，BC，AB为直径的半圆面积分别为S₁，S₂，S₃；
解法1：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=8，由勾股定理，可得AC=BC=4

2

．
∴S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃（3分）
=

1

2

π（2

2

）²+

1

2

π（2

2

）²+

1

2

×（4

2

）²-

1

2

π×4²，
=16．（5分）
解法2：S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃（3分）
=

1

2

π（

AC

2

）²+

1

2

π（

BC

2

）²+S_△ABC-

1

2

π（

AB

2

）²，
=

1

8

π（AC²+BC²-AB²）+S_△ABC．（4分）
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AC²+BC²=AB²，
∴S_阴影=S_△ABC=

1

2

×8×4=16．（5分）

（3）作图正确（如右图）．（8分）