试题

题目：
青果学院（2001·吉林）如图，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G．
（1）求⊙O的半径R；
（2）设∠BFE=α，∠CED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．
答案
青果学院解：（1）连接OE，则OE⊥AD，
∴△AOE∽△ACD
∴
AO
AC
=
OE
CD

∵矩形ABCD
∴AC=
AD2+DC2
=
82+62
=10
∴
10-R
10
=
R
6

解得R=
15
4

∴⊙O的半径R=
15
4
；

（2）如图，连接CE，
∵AD是圆的切线，
∴β=∠CFE，
∵∠BFE+∠CFE=180°
∴α+β=2×90°=180°．
青果学院解：（1）连接OE，则OE⊥AD，
∴△AOE∽△ACD
∴
AO
AC
=
OE
CD

∵矩形ABCD
∴AC=
AD2+DC2
=
82+62
=10
∴
10-R
10
=
R
6

解得R=
15
4

∴⊙O的半径R=
15
4
；

（2）如图，连接CE，
∵AD是圆的切线，
∴β=∠CFE，
∵∠BFE+∠CFE=180°
∴α+β=2×90°=180°．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）首先根据勾股定理可以求出AC的长度，根据AD是圆的切线，连接OE半径，得出△AOE∽△ACD，这样就可以列出关于半径的方程，解方程即可求出半径；
（2）根据弦切角定理，β等于α的邻补角∠EFC，所以三者关系可以很容易写出．
遇到切线作出过切点的半径是解好本题的突破口，切线的性质是本题考查的重点．熟练掌握勾股定理和矩形的性质对解答本题也很重要．
综合题．
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