试题

（2001·乌鲁木齐）已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：DE=

1

2

BC；
（2）若AC=6，BC=8，求S_△ACD：S_△EDF的值．

（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，
∴EC=ED，∠ECD=∠EDC．
∵∠EDC+∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，
∴∠EDB=∠B．
∴ED=BE．
∴DE=BE=EC．
∴DE=

1

2

BC．

（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则AB=10，
根据射影定理可得：
AD=AC²÷AB=3.6，
BD=BC²÷AB=6.4，
∴S_△ACD：S_△BCD=AD：BD=9：16，
∵ED=EB，EF⊥BD，
∴S_△EDF=

1

2

S_△EBD，
同理可得S_△EBD=

1

2

S_△BCD，
∴S_△EDF=

1

4

S_△BCD，
∴S_△ACD：S_△EDF=

9

4

．
（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，
∴EC=ED，∠ECD=∠EDC．
∵∠EDC+∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，
∴∠EDB=∠B．
∴ED=BE．
∴DE=BE=EC．
∴DE=

1

2

BC．

（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则AB=10，
根据射影定理可得：
AD=AC²÷AB=3.6，
BD=BC²÷AB=6.4，
∴S_△ACD：S_△BCD=AD：BD=9：16，
∵ED=EB，EF⊥BD，
∴S_△EDF=

1

2

S_△EBD，
同理可得S_△EBD=

1

2

S_△BCD，
∴S_△EDF=

1

4

S_△BCD，
∴S_△ACD：S_△EDF=

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