试题

（1）求证：关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）若关于x的方程x²-2

2k-3

x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）设题（1）中方程的两根为a、b，若恰有一个直角三角形的三边长分别为2、a、b，试求m的值．

证明：（1）∵x²+（m-3）x-3m=0是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴原方程一定有两个实数根．
（2）△=（2

2k-3

）²-4（3k-6）
=4（2k-3）-12k+24
=-4k+12
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-4k+12＞0，
∴k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥

3

2

，
∴k的取值范围是：

3

2

≤k＜3；
（3）x²+（m-3）x-3m=0
（x+m）（x-3）=0
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∴2²+（-m）²=3²，
m=±

5

，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-

5

，
2²+3²=（-m）²
m=±

13

∵m＜0，
∴m=-

13

；
∴m的值是：m=-

5

或m=-

13

．
证明：（1）∵x²+（m-3）x-3m=0是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴原方程一定有两个实数根．
（2）△=（2

2k-3

）²-4（3k-6）
=4（2k-3）-12k+24
=-4k+12
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-4k+12＞0，
∴k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥

3

2

，
∴k的取值范围是：

3

2

≤k＜3；
（3）x²+（m-3）x-3m=0
（x+m）（x-3）=0
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∴2²+（-m）²=3²，
m=±

5

，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-

5

，
2²+3²=（-m）²
m=±

13

∵m＜0，
∴m=-

13

；
∴m的值是：m=-

5

或m=-

13

．