试题

如图（1），在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线OF．动点P从点B出发沿折线BC→CO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点C出发沿折CO→OF方向以相同的速度运动，设点P的运动时间为t秒，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当点P在OC上、点Q在OF上运动时，如图（2），PQ与OA交于点E，当t为何值时，△OPE为等腰三角形？求出所有满足条件的t的值．

解：（1）在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，
sin∠AOB=

AB

OB

=

6

4 3

=

3

2

，则∠AOB=60°．
因为OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，OA=

1

2

OB=2

3

．
在Rt△AOC中，∠A=90°，∠AOC=30°，AC=

OA

3

=2，OC=2AC=4，
所以BC=AB-AC=4．

（2）本题分三种情况：
①当点P在BC上、点Q在OC上运动时，（0＜t＜4）如图（1）CP=4-t，CQ=t
过点P作PM⊥OC交OC的延长线于点M．
在Rt△CPM中，∠M=90°，∠MCP=60°
∴CM=

1

2

PC=

1

2

(4-t)，PM=

3

CM=

3

2

(4-t)，
∵S△CPQ=

1

2

QC·PM，
∴S=

1

2

×t·

3

2

(4-t)=

3

4

t(4-t)．
②当t=4时，点P与点C重合，点Q与点O重合，此时，不能构成△CPQ；
③当点P在OC上、点Q在OQ上运动时即（4＜t≤8），
如图（2）PC=t-4，OQ=t-4，
过点Q作QN⊥OC交OC于点N，
在Rt△OQN中，∠QNO=90°，∠QON=60°，ON=

1

2

OQ=

1

2

(t-4)，QN=

3

ON=

3

2

(t-4)，
所以S=

1

2

PC·QN=

1

2

×(t-4)·

3

2

(t-4)=

3

4

(t-4)2，
综上所述S=

3 4 t(4-t)(0＜t＜4) 3 4 (t-4)2

．

（3）△OPE为等腰三角形分三种情况：
①当OP=OE时，OQ=t-4，OP=8-t
过点E作EH⊥OQ于点H，则QH=EH=

1

2

OE，OH=

3

2

OE，

∴OQ=HQ+OH=(

1

2

+

3

2

)OE=t-4．∴OE=

2(t-4)

1+ 3

=OP=8-t，解得：t=

12+4 3

3

，
②当EP=EO时，如图：△OPQ为30°的直角三角形，OQ=

1

2

OP，

1

2

(8-t)=t-4，t=

16

3

．   
③当PE=PO时，PE∥OF，PE不与OF相交，故舍去．
综上所述，当t=

12+4 3

3

和t=

16

3

时，△OPE为等腰三角．

解：（1）在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，
sin∠AOB=

AB

OB

=

6

4 3

=

3

2

，则∠AOB=60°．
因为OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，OA=

1

2

OB=2

3

．
在Rt△AOC中，∠A=90°，∠AOC=30°，AC=

OA

3

=2，OC=2AC=4，
所以BC=AB-AC=4．

（2）本题分三种情况：
①当点P在BC上、点Q在OC上运动时，（0＜t＜4）如图（1）CP=4-t，CQ=t
过点P作PM⊥OC交OC的延长线于点M．
在Rt△CPM中，∠M=90°，∠MCP=60°
∴CM=

1

2

PC=

1

2

(4-t)，PM=

3

CM=

3

2

(4-t)，
∵S△CPQ=

1

2

QC·PM，
∴S=

1

2

×t·

3

2

(4-t)=

3

4

t(4-t)．
②当t=4时，点P与点C重合，点Q与点O重合，此时，不能构成△CPQ；
③当点P在OC上、点Q在OQ上运动时即（4＜t≤8），
如图（2）PC=t-4，OQ=t-4，
过点Q作QN⊥OC交OC于点N，
在Rt△OQN中，∠QNO=90°，∠QON=60°，ON=

1

2

OQ=

1

2

(t-4)，QN=

3

ON=

3

2

(t-4)，
所以S=

1

2

PC·QN=

1

2

×(t-4)·

3

2

(t-4)=

3

4

(t-4)2，
综上所述S=

3 4 t(4-t)(0＜t＜4) 3 4 (t-4)2

．

（3）△OPE为等腰三角形分三种情况：
①当OP=OE时，OQ=t-4，OP=8-t
过点E作EH⊥OQ于点H，则QH=EH=

1

2

OE，OH=

3

2

OE，

∴OQ=HQ+OH=(

1

2

+

3

2

)OE=t-4．∴OE=

2(t-4)

1+ 3

=OP=8-t，解得：t=

12+4 3

3

，
②当EP=EO时，如图：△OPQ为30°的直角三角形，OQ=

1

2

OP，

1

2

(8-t)=t-4，t=

16

3

．   
③当PE=PO时，PE∥OF，PE不与OF相交，故舍去．
综上所述，当t=

12+4 3

3

和t=

16

3

时，△OPE为等腰三角．