试题

题目：
（2010·武汉）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求
AP
PC
的值；
（2）如图2，当OA=OB，且
AD
AO
=
1
4
时，求tan∠BPC的值．
（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：2
n
时，直接写出tan∠BPC的值．
青果学院
答案
青果学院
解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，
∵D为OA中点，
∴AE=CE=
1
2
AC，
DE
CO
=
1
2
，
∵点C为OB中点，
∴BC=CO，
DE
BC
=
1
2
，
∴
PE
PC
=
DE
BC
=
1
2
，
∴PC=
2
3
CE=
1
3
AC，
∴
AP
PC
=
AC-PC
PC
=
2
3
AC
1
3
AC
=2；

（2）过点D作DE∥BO交AC于E，
∵
AD
AO
=
1
4
，
∴
DE
CO
=
AE
AC
=
1
4
，
∵点C为OB中点，
∴
DE
BC
=
1
4
，
∴
PE
PC
=
DE
BC
=
1
4
，
∴PC=
4
5
CE=
3
5
AC，
过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，
∵OA=OB，点C为OB中点，
∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC=
AO2+CO2
=
(4a)2+(2a)2
=2
5
a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴
AF
AO
=
DF
CO
=
AD
AC
=
a
2
5
a
，
∴AF=
2
5
5
a，DF=
5
5
a，
PF=AC-AF-PC=2
5
a-
2
5
5
a-
3
5
×2
5
a=
2
5
5
a，
tan∠BPC=tan∠FPD=
DF
PF
=
1
2
．

（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=
n+1
n+1
a，
PF=
n2+n
n+1
a，所以tan∠BPC=
n
n
．
青果学院
解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，
∵D为OA中点，
∴AE=CE=
1
2
AC，
DE
CO
=
1
2
，
∵点C为OB中点，
∴BC=CO，
DE
BC
=
1
2
，
∴
PE
PC
=
DE
BC
=
1
2
，
∴PC=
2
3
CE=
1
3
AC，
∴
AP
PC
=
AC-PC
PC
=
2
3
AC
1
3
AC
=2；

（2）过点D作DE∥BO交AC于E，
∵
AD
AO
=
1
4
，
∴
DE
CO
=
AE
AC
=
1
4
，
∵点C为OB中点，
∴
DE
BC
=
1
4
，
∴
PE
PC
=
DE
BC
=
1
4
，
∴PC=
4
5
CE=
3
5
AC，
过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，
∵OA=OB，点C为OB中点，
∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC=
AO2+CO2
=
(4a)2+(2a)2
=2
5
a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴
AF
AO
=
DF
CO
=
AD
AC
=
a
2
5
a
，
∴AF=
2
5
5
a，DF=
5
5
a，
PF=AC-AF-PC=2
5
a-
2
5
5
a-
3
5
×2
5
a=
2
5
5
a，
tan∠BPC=tan∠FPD=
DF
PF
=
1
2
．

（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=
n+1
n+1
a，
PF=
n2+n
n+1
a，所以tan∠BPC=
n
n
．
考点梳理
平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
（1）过D作BO的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△PDE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根据C是BO的中点，可以求出PE：PC=1：2，再根据三角形中位线定理，点E是AC的中点，利用比例变形即可求出AP与PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=
3
5
AC，再过D作DF⊥AC于F，设AD为a，利用勾股定理求出AC等于2
5
a，再利用相似三角形对应边成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC与∠FPD是对顶角，所以其正切值便可求出．
（3）根据（2）的方法，把相应数据进行代换即可求出．
本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力．
压轴题．
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