试题

（2013·静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．
求证：（1）AF=CE；
（2）BF²=EF·AF．

（1）证明：∵DA=DB，
∴∠FBA=∠EAC，
∵∠AFD=∠BEC，
∴180°-∠AFD=180°-∠BEC，
即∠BFA=∠AEC．
∵在△BFA和△AEC中

∠AFB=∠AEC ∠FBA=∠EAC AB=AC

，
∴△BFA≌△AEC（AAS）．
∴AF=CE．

（2）解：∵△BFA≌△AEC，
∴BF=AE．
∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，
∴△EFA∽△EAC．
∴

EA

EC

=

EF

EA

．
∴EA²=EF·CE．
∵EA=BF，CE=AF，
∴BF²=EF·AF．
（1）证明：∵DA=DB，
∴∠FBA=∠EAC，
∵∠AFD=∠BEC，
∴180°-∠AFD=180°-∠BEC，
即∠BFA=∠AEC．
∵在△BFA和△AEC中

∠AFB=∠AEC ∠FBA=∠EAC AB=AC

，
∴△BFA≌△AEC（AAS）．
∴AF=CE．

（2）解：∵△BFA≌△AEC，
∴BF=AE．
∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，
∴△EFA∽△EAC．
∴

EA

EC

=

EF

EA

．
∴EA²=EF·CE．
∵EA=BF，CE=AF，
∴BF²=EF·AF．