试题

（2006·郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

解：（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即

1

2

AB·CG=

1

2

AB·DE+

1

2

AC·DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
即

1

2

AB·DE=

1

2

AB·CG+

1

2

AC·DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DE-DF=CG，说明方法同上．
解：（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即

1

2

AB·CG=

1

2

AB·DE+

1

2

AC·DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
即

1

2

AB·DE=

1

2

AB·CG+

1

2

AC·DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DE-DF=CG，说明方法同上．