试题

（2010·白云区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：点M在AB、CD边中点的连线上．

（1）证明：如图，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，（1分）
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，（2分）
即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，
2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，（3分）
而∠2+∠3+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，（4分）
即AE⊥BF；

（2）证明：如图，设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，（5分）
∵G为Rt△ABM斜边AB的中点，（6分）
∴MG=AG=GB，（7分）
∴∠2=∠5，（8分）
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．（9分）
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形，
又G、H分别为两腰AB、DC的中点，
由梯形中位线定理可知，GH∥AD，而证得GM∥AD，（10分）
根据平行公理可知，过点G与AD平行的直线只有一条，（11分）
∴M点在GH上，
即M点在AB、CD边中点的连线上．（12分）
（1）证明：如图，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，（1分）
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，（2分）
即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，
2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，（3分）
而∠2+∠3+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，（4分）
即AE⊥BF；

（2）证明：如图，设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，（5分）
∵G为Rt△ABM斜边AB的中点，（6分）
∴MG=AG=GB，（7分）
∴∠2=∠5，（8分）
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．（9分）
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形，
又G、H分别为两腰AB、DC的中点，
由梯形中位线定理可知，GH∥AD，而证得GM∥AD，（10分）
根据平行公理可知，过点G与AD平行的直线只有一条，（11分）
∴M点在GH上，
即M点在AB、CD边中点的连线上．（12分）