试题

题目：
青果学院已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE=1，cos∠AEF=
4
5
，求EF的长．
答案
青果学院解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；
∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；
∴∠B=∠AEF；（1分）
∴cos∠B=cos∠AEF=
4
5

∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°
∴cos∠B=
BE
AB
=
4
5
；（2分）
设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC-BE=BA-BE=k；
∵EC=1，∴k=1；（3分）
∴BE=4，AB=5；
∴AE=3；（4分）
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，
∵cos∠AEF=
EF
AE
=
4
5
，（5分）
∴EF=AE×
4
5
=
12
5
．（6分）
青果学院解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；
∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；
∴∠B=∠AEF；（1分）
∴cos∠B=cos∠AEF=
4
5

∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°
∴cos∠B=
BE
AB
=
4
5
；（2分）
设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC-BE=BA-BE=k；
∵EC=1，∴k=1；（3分）
∴BE=4，AB=5；
∴AE=3；（4分）
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，
∵cos∠AEF=
EF
AE
=
4
5
，（5分）
∴EF=AE×
4
5
=
12
5
．（6分）
考点梳理
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．
Rt△ABE中，EF⊥AB，易得∠AEF=∠B，即cos∠B=
4
5
，由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC的比例关系，根据EC=BC-BE，即可求出BE、AE的长；然后根据∠AEF的余弦值，即可在Rt△AEF中，求出EF的长．
此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识．
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