试题

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F．
（1）在图中找出与△ABD全等的三角形，并说出全等的理由；
（2）说明BD=2EC；
（3）如果AB=5，求AD的长．

证明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠BAC=90°，
∵BD⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，

∠BAD=∠CAF AB=AC ∠ADB=∠ACF

，
∴△ABD≌△ACF（ASA），

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC，
∵BD是∠BAC的平分线，
∴∠FBE=∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，

∠FBE=∠CBE BE=BE ∠BEF=∠BEC

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
∴BD=2CE．

（3）过D作DM⊥BC，

设AD=DM=MC=x，
则DC=

2

x
由AB=AC=AD+DC可得：x+

2

x=5，
解得：x=5

2

-5，
即如果AB=5，则AD的长为5

2

-5．
证明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠BAC=90°，
∵BD⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，

∠BAD=∠CAF AB=AC ∠ADB=∠ACF

，
∴△ABD≌△ACF（ASA），

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC，
∵BD是∠BAC的平分线，
∴∠FBE=∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，

∠FBE=∠CBE BE=BE ∠BEF=∠BEC

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
∴BD=2CE．

（3）过D作DM⊥BC，

设AD=DM=MC=x，
则DC=

2

x
由AB=AC=AD+DC可得：x+

2

x=5，
解得：x=5

2

-5，
即如果AB=5，则AD的长为5

2

-5．