试题

如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．
（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．
（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．

（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE与△CDE，

AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2，
②∵AD∥BG（正方形的对边平行），
∴∠1=∠G，
∵M是FG的中点，
∴MC=MG=MF，
∴∠G=∠MCG，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠MCG，
∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，
∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，
∴EC⊥MC；

（2）解：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．
理由如下：∵△ECG为等腰三角形，
∴∠G=∠CEG，
又∵∠1=∠2=∠G，
∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，
即3∠1+90°=180°，
解得∠1=30°．
故答案为：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．
（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE与△CDE，

AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2，
②∵AD∥BG（正方形的对边平行），
∴∠1=∠G，
∵M是FG的中点，
∴MC=MG=MF，
∴∠G=∠MCG，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠MCG，
∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，
∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，
∴EC⊥MC；

（2）解：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．
理由如下：∵△ECG为等腰三角形，
∴∠G=∠CEG，
又∵∠1=∠2=∠G，
∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，
即3∠1+90°=180°，
解得∠1=30°．
故答案为：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．