试题

（2012·湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．

解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=

1

2

BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF是边AC的中线，
∴BD⊥AC，BD与AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE=6，DE=3，
∴BD=

BE2-DE2

=

62-32

=3

3

．
解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=

1

2

BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF是边AC的中线，
∴BD⊥AC，BD与AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE=6，DE=3，
∴BD=

BE2-DE2

=

62-32

=3

3

．