试题

题目：
青果学院（2012·凉山州）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴
BE
EF
=
AB
DE
，
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴BE=
AB2+AE2
=10，DE=AD-AE=12-8=4，
∴
10
EF
=
6
4
，
解得：EF=
20
3
．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴
BE
EF
=
AB
DE
，
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴BE=
AB2+AE2
=10，DE=AD-AE=12-8=4，
∴
10
EF
=
6
4
，
解得：EF=
20
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；
（2）由（1）：△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
BE
EF
=
AB
DE
，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB-AE，求得DE的长，继而求得EF的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用是解此题的关键．
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