试题

（2011·哈尔滨）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；
（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．

（1）解：∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴∠DBE=∠CAE
又∵∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴

BD

AC

=

DE

CE

，
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为DE=2CE．

（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，
∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM=

1

2

BC，
∵AC=

1

2

BC，∴BM=AC，
∵在△BME和△ACE中

∠BME=∠ACE ∠MEB=∠AEC BM=AC

∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=

1

2

CM，
∴DE=3EC；

（3）解：如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，
设BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=

3

2

a，BN=

1

2

a，
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=

5

2

a，
∴DF=

DN2+FN2

=

( 5 2 a)2+( 3 2 a)2

=

7

a，
∵AC=

1

2

BC，BF=

1

2

BC，
∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴

FG

BF

=

BF

DF

=

BG

DB

，
∴BF²=FG×FD，
∴a²=

7

a×FG，
∴FG=

7

7

a，
∴DG=DF-FG=

6 7

7

a，BG=

FG×DB

BF

=

2 7

7

a，
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴

BG

DG

=

GF

GH

，
∴GH=

DG×GF

BG

=

3 7

7

a，
∵BH=BG+GH=

5 7

7

a=10，
∴a=2

7

；
∴BC=2a=4

7

，
CM′=BCcos30°=2

21

，
∴DC=2CM′=4

21

，
∵DE=3EC，
∴EC=

1

4

DC=

21

．