试题

如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=

1

x

图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），且始终有OP=OQ．
（1）求证：a=d，b=c；
（2）P₁是点P关于y轴的对称点，Q₁是点Q关于x轴的对称点，连接P₁Q₁分别交OP、OQ于点M、N．
①求证：PQ∥P₁Q₁；
②求四边形PQNM的面积S能否等于

8

5

？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

（1）证明：∵点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=

1

x

图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），
∴ab=1，cd=1，
即b=

1

a

，d=

1

c

．
又∵OP=OQ，
∴a²+b²=c²+d²，
即a²+(

1

a

)²=(

1

d

)²+d²，
∴a⁴d²+d²=a²+a²d⁴，
∴a⁴d²-a²d⁴=a²-d²，
∴a²d²（a²-d²）-（a²-d²）=0
∴（ad-1）（a-d）=0
∵ad≠1，
∴a=d，
同理可得b=c；

（2）①证明：∵P₁是点P（a，b）关于y轴的对称点，∴P₁（-a，b），
由（1）知，a=d，b=c，∴Q（c，d）即为Q（b，a），
∵Q₁是点Q关于x轴的对称点，∴Q₁（b，-a），
运用待定系数法求得直线PQ的解析式为y=-x+a+b，直线P₁Q₁的解析式为y=-x+b-a，
∴PQ∥P₁Q₁

②解：如图，设PP₁与y轴交于点A，QQ₁与x轴交于点B，过点P作PD⊥x轴于点D．
则S_△OPQ=S_{五边形OAPQB}-S_△OAP-S_△OQB=S_{五边形OAPQB}-S_△OAP-S_△OPD=S_梯形PDBQ=

1

2

（a+b）（b-a）．
设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C．
则C（0，a+b），E（0，b-a）
∵MN∥PQ，∴△OMN∽△OPQ，
∴

OM

OP

=

OE

OC

=

MN

PQ

，又OE=b-a，OC=a+b，
∴S_△OMN：S_△OPQ=（MN：PQ）²=（OE：OC）²=（

b-a

a+b

）²，
∴S_△OMN=

1

2

（a+b）（b-a）·（

b-a

a+b

）²=

1

2

·

(b-a)3

a+b

，
∴S_{四边形PQNM}=S_△OPQ-S_△OMN=

1

2

（a+b）（b-a）-

1

2

·

(b-a)3

a+b

=

1

2

（b-a）·

(a+b)2-(a-b)2

a+b

=

1

2

（b-a）·

4

a+b

=

8

5

，
解得b=9a，
∵ab=1，
∴a=

1

3

，b=3．
∴P（

1

3

，3）．
（1）证明：∵点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=

1

x

图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），
∴ab=1，cd=1，
即b=

1

a

，d=

1

c

．
又∵OP=OQ，
∴a²+b²=c²+d²，
即a²+(

1

a

)²=(

1

d

)²+d²，
∴a⁴d²+d²=a²+a²d⁴，
∴a⁴d²-a²d⁴=a²-d²，
∴a²d²（a²-d²）-（a²-d²）=0
∴（ad-1）（a-d）=0
∵ad≠1，
∴a=d，
同理可得b=c；

（2）①证明：∵P₁是点P（a，b）关于y轴的对称点，∴P₁（-a，b），
由（1）知，a=d，b=c，∴Q（c，d）即为Q（b，a），
∵Q₁是点Q关于x轴的对称点，∴Q₁（b，-a），
运用待定系数法求得直线PQ的解析式为y=-x+a+b，直线P₁Q₁的解析式为y=-x+b-a，
∴PQ∥P₁Q₁

②解：如图，设PP₁与y轴交于点A，QQ₁与x轴交于点B，过点P作PD⊥x轴于点D．
则S_△OPQ=S_{五边形OAPQB}-S_△OAP-S_△OQB=S_{五边形OAPQB}-S_△OAP-S_△OPD=S_梯形PDBQ=

1

2

（a+b）（b-a）．
设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C．
则C（0，a+b），E（0，b-a）
∵MN∥PQ，∴△OMN∽△OPQ，
∴

OM

OP

=

OE

OC

=

MN

PQ

，又OE=b-a，OC=a+b，
∴S_△OMN：S_△OPQ=（MN：PQ）²=（OE：OC）²=（

b-a

a+b

）²，
∴S_△OMN=

1

2

（a+b）（b-a）·（

b-a

a+b

）²=

1

2

·

(b-a)3

a+b

，
∴S_{四边形PQNM}=S_△OPQ-S_△OMN=

1

2

（a+b）（b-a）-

1

2

·

(b-a)3

a+b

=

1

2

（b-a）·

(a+b)2-(a-b)2

a+b

=

1

2

（b-a）·

4

a+b

=

8

5

，
解得b=9a，
∵ab=1，
∴a=

1

3

，b=3．
∴P（

1

3

，3）．