试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC和AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值．
答案
解：设PD=x（x＞1），则由勾股定理得：PC=
x2-1
，
∵∠P=∠P，∠PCD=∠A=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PAB，
∴
AB
CD
=
PA
PC
，
∴AB=
CD·PA
PC
=
x+1
x2-1
，
设y=AB·S△PAB，代入可得y=
(x+1)3
2(x2-1)
=
(x+1)2
2(x-1)
，
去分母，得x2+2（1-y）x+1+2y=0，
因为x是实数，所以△=4（1-y）2-4（1+2y）=4y（y-4）≥0，
又因为y＞0，所以y≥4．即y的最小值为4，故当PD=3时，AB·S△PAB的最小值为4．
答：AB·S△PAB的最小值是4．
解：设PD=x（x＞1），则由勾股定理得：PC=
x2-1
，
∵∠P=∠P，∠PCD=∠A=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PAB，
∴
AB
CD
=
PA
PC
，
∴AB=
CD·PA
PC
=
x+1
x2-1
，
设y=AB·S△PAB，代入可得y=
(x+1)3
2(x2-1)
=
(x+1)2
2(x-1)
，
去分母，得x2+2（1-y）x+1+2y=0，
因为x是实数，所以△=4（1-y）2-4（1+2y）=4y（y-4）≥0，
又因为y＞0，所以y≥4．即y的最小值为4，故当PD=3时，AB·S△PAB的最小值为4．
答：AB·S△PAB的最小值是4．
考点梳理
面积及等积变换；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
设PD=x（x＞1），根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到
AB
CD
=
PA
PC
，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=AB·S△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．
本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，面积和等积变形等知识点的理解和掌握，能求出方程x2+2（1-y）x+1+2y=0中y的最小值是解此题的关键．
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