试题

附加题：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两个根，求x₁²+x₂²的值．
解：根据根与系数的关系得x₁+x₂=1，x₁-x₂=-3
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1²-2×（-3）=7．
请根据解题过程中体现的数学方法解决下面的问题：
已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

解：设边AB=a，AC=b．
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3，ab=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=25即（a+b）²-2ab=25
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2．
当k=-5时，方程为x²+7x+12=0解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）．
当k=2时，方程为x²-7x+12=0，解得：x₁=3，x₂=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
解：设边AB=a，AC=b．
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3，ab=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=25即（a+b）²-2ab=25
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2．
当k=-5时，方程为x²+7x+12=0解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）．
当k=2时，方程为x²-7x+12=0，解得：x₁=3，x₂=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．