试题

如图，△ABC中，AD、CE相交于G，若点G是△ABC 的重心．
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）若∠ACB=90°，

(AC-3)2

+（BC-6）²=0，求DG的长．

（1）证明：∵点G是△ABC的重心，
∴点D、E分别是BC、AB的中点，即BE=AE，BD=CD，
∴

BE

BA

=

BD

BC

，又∠B为公共角，
∴△BDE∽△BCA．

（2）解：∵

(AC-3)2

+（BC-6）²=0
∴AD、CE是△ABC的中线，
∴AC=3，CB=6
∴

BE

BA

=

BD

BC

=

1

2

∵由（1）知AD是△ABC的中线
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴CD=3，
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°
∴AD=

AC2+CD2

=3

2

，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG=

1

3

AD=

2

．
（1）证明：∵点G是△ABC的重心，
∴点D、E分别是BC、AB的中点，即BE=AE，BD=CD，
∴

BE

BA

=

BD

BC

，又∠B为公共角，
∴△BDE∽△BCA．

（2）解：∵

(AC-3)2

+（BC-6）²=0
∴AD、CE是△ABC的中线，
∴AC=3，CB=6
∴

BE

BA

=

BD

BC

=

1

2

∵由（1）知AD是△ABC的中线
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴CD=3，
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°
∴AD=

AC2+CD2

=3

2

，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG=

1

3

AD=

2

．